非线性优化问题基本形式概述
非线性优化问题以及在视觉SLAM中的应用
1.0 最小二乘基础概念
- 定义
\quad 找到一个 n 维的变量 x ∗ ∈ R n \mathbf{x}^{*} \in \mathbb{R}^{n} x∗∈Rn , 使得损失函数 F ( x ) F(\mathbf{x}) F(x) 取局部最小值:
F
(
x
)
=
1
2
∑
i
=
1
m
(
f
i
(
x
)
)
2
F(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}\left(f_{i}(\mathbf{x})\right)^{2}
F(x)=21i=1∑m(fi(x))2
\quad
其中
f
i
f_{i}
fi 是残差函数, 比如测量值和预测值之间的差, 且有
m
≥
n
m \geq n
m≥n 。 部最小值指对任意
∥
x
−
x
∗
∥
<
δ
\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{*}\right\|<\delta
∥x−x∗∥<δ 有
F
(
x
∗
)
≤
F
(
x
)
F\left(\mathbf{x}^{*}\right) \leq F(\mathbf{x})
F(x∗)≤F(x)
\quad
损失函数泰勒展开,假设损失函数
F
(
x
)
F(\mathbf{x})
F(x) 是可导并且平滑的, 因此, 二阶泰勒展开:
F
(
x
+
Δ
x
)
=
F
(
x
)
+
J
Δ
x
+
1
2
Δ
x
⊤
H
Δ
x
+
O
(
∥
Δ
x
∥
3
)
F(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})=F(\mathbf{x})+\mathbf{J} \Delta \mathbf{x}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{H} \Delta \mathbf{x}+O\left(\|\Delta \mathbf{x}\|^{3}\right)
F(x+Δx)=F(x)+JΔx+21Δx⊤HΔx+O(∥Δx∥3)
这里要着重注意一下,这里的 J \mathbf{J} J 和 H \mathbf{H} H 都是每一个残差项的雅可比堆叠(计算)而来,实际上对于初学者来说并不直观,后面我们会以一个曲线拟合和 B A BA BA 问题来详细分析一下如何通过连加来推算到 J \mathbf{J} J 和 H \mathbf{H} H
\quad 其中 J \mathbf{J} J 和 H \mathbf{H} H 分别为损失函数 F F F 对变量 x x x 的一阶导和二阶导矩阵,也就是我们通常所说的雅可比矩阵和海塞矩阵。(这里的 x \mathbf{x} x 包含了所有待优化的变量,在视觉SLAM问题中,一般是相机的 Pose 和已经三角化的点的坐标或者逆深度,且由于相机一般能观测到的3D点的个数是有限的,因此其雅可比矩阵也就是稀疏的,只有两个地方的雅可比求导是不为0的,参考14讲P247,那么 J i , j T J i , j J_{i,j}^TJ_{i,j} Ji,jTJi,j,则只有四个地方是不为0的)。
- 损失函数泰勒展开的性质
\quad 忽略泰勒展开的高阶项,损失函数变成了二次函数,可以轻易得到如下性质:
- 如果在点 x s x_s xs 处有导数为 0 0 0 ,则称这个点为稳定点。
- 在点
x
s
x_s
xs 处对应的 Hessian 为
H
\mathbf{H}
H:
- 如果是正定矩阵,即它的特征值都大于 0 0 0,则在 x s x_s xs 处有 F ( x ) F (x) F(x) 为局部最小值。
- 如果是复定矩阵,即它的特征值都小于 0 0 0,则在 x s x_s xs 处有 F ( x ) F (x) F(x) 为局部最大值。
- 如果是不定矩阵,即它的特征值大于 0 0 0 也有小于 0 0 0 的,则 x s x_s xs 处为鞍点。
- 求解方法主要有以下两种:
- 直接求解:线性最小二乘(这里不再赘述,为线性代数的内容,超定方程的通解为 x = ( A T A ) − 1 A b x=(A^TA)^{-1}A\ b x=(ATA)−1A b)
- 迭代下降法:适用于线性和非线性最小二乘
2.0 迭代下降求解方式
-
迭代法初衷:
找到一个下降方向使得损失函数随着 x x x 的迭代逐渐减少直到 x ∗ x^* x∗。
F ( x k + 1 ) < F ( x k ) F(x_{k+1})<F(x_k) F(xk+1)<F(xk)
分两个步骤;第一,找到下降方向单位向量 d d d ,第二,确定下降的步长 a a a。假设 a a a 足够的小,又因为 d d d 为单位向量,因此可以将 a d ad ad 看作是一个微小的变化量 △ x \triangle{x} △x,我们可以对损失函数进行一阶泰勒展开:
F ( x + a d ) ≈ F ( x ) + a J d F(\mathbf{x}+a \ \mathbf{d}) \approx F(\mathbf{x}) + a\mathbf{J}\mathbf{d} F(x+a d)≈F(x)+aJd
只需要寻找下降方向,满足:
J d < 0 \mathbf{Jd}<0 Jd<0
通过 line search 的方法找到下降的步长: a ∗ = a r g m i n a > 0 [ F ( x + a d ) ] a^*=argmin_{a>0} [F(x+ad)] a∗=argmina>0[F(x+ad)]
2.1 最速下降法: 适用于迭代的开始阶段
适用于迭代的开始阶段
\quad 从下降方向的条件(单位向量)可以知道: J d = ∣ ∣ J ∣ ∣ c o s θ \mathbf{Jd=||J||}cos\theta Jd=∣∣J∣∣cosθ ,其中 θ \theta θ 表示的是下降方向和梯度方向的夹角. 当 θ = π \theta = \pi θ=π 有:
这里为什么能写成向量的内积运算,笔者在刚开始看起来还认为是两个矩阵相乘法,却直接写成了内积运算,仔细思索发现 d d d 其实上是一个和 x x x 相同维度的单位向量,其纬度为 n × 1 n\times 1 n×1 ,而雅可比矩阵
d = − J T ∣ ∣ J ∣ ∣ \mathbf{d=\frac{-J^T}{||J||}} d=∣∣J∣∣−JT
\quad 即梯度的负方向为最速下降方向。缺点:最优值附近震荡,收敛慢。
2.2 牛顿法: 适用于最优值附近
在局部最优点
x
∗
x^∗
x∗ 附近,如果
x
+
∆
x
x + ∆x
x+∆x 是最优解,则损失函数对
∆
x
∆x
∆x 的导数等于
0
0
0,对公式 (2) 取一阶导有:
∂
∂
Δ
x
(
F
(
x
)
+
J
Δ
x
+
1
2
Δ
x
⊤
H
Δ
x
)
=
J
T
+
H
Δ
x
=
0
\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \Delta x}\left (F(\mathbf{x})+\mathbf{J} \Delta \mathbf{x}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{H} \Delta \mathbf{x} \right) &=\mathbf{J^T} + \mathbf{H}\Delta x =0 \end{align*}
∂Δx∂(F(x)+JΔx+21Δx⊤HΔx)=JT+HΔx=0
得到:
∆
x
=
−
H
−
1
J
T
∆x = -\mathbf{H^{-1}J^T}
∆x=−H−1JT 。缺点:二阶导矩阵计算复杂。
这里我们其实既可以看作是多个残差的分量相加后组成的 H H H,也可以看作是每个残差单独的 H H H。
2.3 阻尼法:防止 Δ x \Delta x Δx 的模过大
将损失函数的二阶泰勒展开记作:
F
(
x
+
Δ
x
)
≈
L
(
Δ
x
)
=
F
(
x
)
+
J
Δ
x
+
1
2
Δ
x
⊤
H
Δ
x
F(\mathbf{x}+\Delta x)\approx L(\Delta x) = F(\mathbf{x})+\mathbf{J} \Delta \mathbf{x}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{H} \Delta \mathbf{x}
F(x+Δx)≈L(Δx)=F(x)+JΔx+21Δx⊤HΔx
求以下函数的最小化:
Δ
x
=
a
r
g
m
i
n
Δ
x
{
L
(
Δ
x
)
+
1
2
μ
Δ
x
T
Δ
x
}
\Delta x = arg \ \underset{\Delta x}{min} \left \{ L \left (\Delta x\right ) + \frac{1}{2}\mu \Delta x^T\Delta x \right \}
Δx=arg Δxmin{L(Δx)+21μΔxTΔx}
其中,
μ
≥
0
μ ≥ 0
μ≥0 为阻尼因子, $ \frac{1}{2}\mu \Delta x^T\Delta x $是惩罚项。对新的损失函数求一阶导,并令其等于
0
0
0 有:
L
‘
(
Δ
x
)
+
μ
Δ
x
=
0
(
H
+
μ
I
)
Δ
x
=
−
J
T
\mathbf{L^`(\Delta x)} + \mu \mathbf{\Delta x} = 0 \\ (\mathbf{H}+\mu\mathbf{I})\Delta x = -\mathbf{J^T}
L‘(Δx)+μΔx=0(H+μI)Δx=−JT
2.4 Gauss-Newton 和 LM
残差函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 为非线性函数,对其进行一阶泰勒近似有:
f
(
x
+
Δ
x
)
≈
ℓ
(
Δ
x
)
≡
f
(
x
)
+
J
Δ
x
f(x+\Delta x)\approx \ell (\Delta x) \equiv f(x)+J\Delta x
f(x+Δx)≈ℓ(Δx)≡f(x)+JΔx
带入损失函数:
F
(
x
+
Δ
x
)
≈
L
(
Δ
x
)
≡
1
2
ℓ
(
Δ
x
)
⊤
ℓ
(
Δ
x
)
=
1
2
f
⊤
f
+
Δ
x
⊤
J
⊤
f
+
1
2
Δ
x
⊤
J
⊤
J
Δ
x
=
F
(
x
)
+
Δ
x
⊤
J
⊤
f
+
1
2
Δ
x
⊤
J
⊤
J
Δ
x
\begin{aligned} F(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x}) \approx L(\Delta \mathbf{x}) & \equiv \frac{1}{2} \ell(\Delta \mathbf{x})^{\top} \ell(\Delta \mathbf{x}) \\ & =\frac{1}{2} \mathbf{f}^{\top} \mathbf{f}+\Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{J}^{\top} \mathbf{f}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{J}^{\top} \mathbf{J} \Delta \mathbf{x} \\ & =F(\mathbf{x})+\Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{J}^{\top} \mathbf{f}+\frac{1}{2} \Delta \mathbf{x}^{\top} \mathbf{J}^{\top} \mathbf{J} \Delta \mathbf{x} \end{aligned}
F(x+Δx)≈L(Δx)≡21ℓ(Δx)⊤ℓ(Δx)=21f⊤f+Δx⊤J⊤f+21Δx⊤J⊤JΔx=F(x)+Δx⊤J⊤f+21Δx⊤J⊤JΔx
这里我们假设暂时只关注其中的一项(其实也可以是所有损失项的叠加,最终形式是一样的)。在
x
x
x 处进行的泰勒展开,则认为
x
x
x 是已知的,现在的损失函数是一个关于
Δ
x
\Delta x
Δx 的函数,其最小值,则令关于
Δ
x
\Delta x
Δx 的导数为
0
0
0 即可。可以得到:
(
J
T
J
)
Δ
x
g
n
=
−
J
T
f
\mathbf{(J^T J)}\Delta x_{gn}=-\mathbf{J^T f}
(JTJ)Δxgn=−JTf
上面这个形式就是我们在论文或者各种SLAM问题中经常见到的形式了,
H
Δ
x
=
b
\mathbf{H \Delta x =b}
HΔx=b,也叫做 normal equation
曲线拟合理解
现在我们通过非线性最小二乘来进行线性拟合实验,将理论应用于实际中去。假设曲线方程为:
y
=
exp
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
y=\exp (ax^2+bx+c)
y=exp(ax2+bx+c)
其中设
a
=
1
,
b
=
2
,
c
=
3
a=1,b=2,c=3
a=1,b=2,c=3 。
现在加入噪声项生成带有高斯分布的噪声数据,当然不是高斯分布的数据也是可以的,但是在自己实验的时候尽量不要出现外点数据,因为我们并没有处理外点数据的策略。则生成数据的方程为:
y
=
exp
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
+
w
y=\exp (ax^2+bx+c) + w
y=exp(ax2+bx+c)+w
其中
w
w
w 为符合高斯分布的噪声数据。
通过如下程序生成观测数据:
double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0; // 真实参数值
int N = 100; // 数据点
double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值
vector<double> x_data, y_data; // 数据
for (int i = 0; i < N; i++) {
double x = i / 100.0;
x_data.push_back(x);
y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));
}
接下来我们关心雅可比如何计算,误差项
f
i
(
a
,
b
,
c
)
f_i(a,b,c)
fi(a,b,c) 可以写成如下形式:
f
i
(
a
,
b
,
c
)
=
y
i
−
e
x
p
(
a
e
x
i
2
+
b
e
x
i
+
c
e
)
f_i(a,b,c)=y_i-exp(a_ex_i^2+b_ex_i+c_e)
fi(a,b,c)=yi−exp(aexi2+bexi+ce)
我们知道这两项相减是绝对不可能相等的,因为在生成数据的时候加入了高斯噪声。我们这里有
N
N
N 个观测,即
i
∈
(
1
−
100
)
i\in (1-100)
i∈(1−100),我们将其写成连加的形式
F
(
X
)
=
∑
i
=
1
N
(
y
i
−
e
x
p
(
a
e
x
i
2
+
b
e
x
i
+
c
e
)
)
2
F(X)=\sum_{i=1}^{N}\left (y_i-exp(a_ex_i^2+b_ex_i+c_e) \right)^2
F(X)=i=1∑N(yi−exp(aexi2+bexi+ce))2
该式中右边就是残差项的具体形式,我们对其进行平方,防止负的残差和正的残差抵消的情况,前面我们已经说过可以将残差项通过一阶泰勒展开进行近似,然后进行平方得到每一个残差项的具体形式:
f ( x + Δ x ) ≈ f ( x ) + J ( x ) Δ x f(x+\Delta x)\approx f(x)+J(x)\Delta x f(x+Δx)≈f(x)+J(x)Δx
1 2 ∥ f ( x ) + J ( x ) Δ x ∥ 2 = 1 2 ( f ( x ) + J ( x ) Δ x ) T ( f ( x ) + J ( x ) Δ x ) = 1 2 ( ∥ f ( x ) ∥ 2 2 + 2 f ( x ) T J ( x ) Δ x + Δ x T J ( x ) T J ( x ) Δ x ) = Ω ( Δ x ) \begin{aligned} \frac{1}{2}\|f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}\|^{2} & =\frac{1}{2}(f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x})^{T}(f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}) \\ & =\frac{1}{2}\left(\|f(\boldsymbol{x})\|_{2}^{2}+2 f(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}\right) \\ &=\Omega(\Delta x) \end{aligned} 21∥f(x)+J(x)Δx∥2=21(f(x)+J(x)Δx)T(f(x)+J(x)Δx)=21(∥f(x)∥22+2f(x)TJ(x)Δx+ΔxTJ(x)TJ(x)Δx)=Ω(Δx)
此时由于某时刻的观测已知,因此误差项是一个关于
Δ
x
\Delta x
Δx 的二次函数,求该项的最小值只要让关于
Δ
x
\Delta x
Δx 的导数为
0
0
0 即可。求导后可得:
2
J
(
x
)
T
f
(
x
)
+
2
J
(
x
)
T
J
(
x
)
Δ
x
=
0
J
(
x
)
T
J
(
x
)
Δ
x
=
−
J
(
x
)
T
f
(
x
)
\begin{array}{l} 2 \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} f(\boldsymbol{x})+2 \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}=\mathbf{0} \\ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}=-\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} f(\boldsymbol{x}) \end{array}
2J(x)Tf(x)+2J(x)TJ(x)Δx=0J(x)TJ(x)Δx=−J(x)Tf(x)
这里我们简单的记:
J ( x ) T f ( x ) = η J ( x ) T J ( x ) Δ x = H Δ x \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} f(\boldsymbol{x}) = \mathbf{\eta}\\ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})^{T} \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}=\mathbf{H\Delta x} J(x)Tf(x)=ηJ(x)TJ(x)Δx=HΔx
即我们常见的形式:
读者要注意到这里的 b b b 其实就是上面的 − η -\eta −η
H
Δ
x
=
b
\mathbf{H\Delta x=b}
HΔx=b
这里我们假设残差项记为
e
i
\mathbf{e_i}
ei 一共有
N
N
N 个观测,则有
N
N
N 个残差项。
F
(
X
)
=
e
1
2
+
e
2
2
+
e
3
2
+
e
4
2
+
e
5
2
+
⋯
+
e
N
2
F(X)=\mathbf{e_1^2 + e_2^2+ e_3^2+ e_4^2+ e_5^2+ \dots + e_N^2}
F(X)=e12+e22+e32+e42+e52+⋯+eN2
整个
F
(
X
)
F(X)
F(X) 此时是关于待优化变量的函数,每一项分别用各自的一阶泰勒展开近似,注意这里的每一项由于观测的不同,每一项都是一个不同的函数表达式,但是优化变量都是一样的。得到如下结果:
1 2 ∥ f ( x ) + J ( x ) Δ x ∥ 2 = Ω ( Δ x ) \begin{aligned} \frac{1}{2}\|f(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) \Delta \boldsymbol{x}\|^{2} &=\Omega(\Delta x) \end{aligned} 21∥f(x)+J(x)Δx∥2=Ω(Δx)
F ( X ) ≈ Ω ( Δ x ) 1 + Ω ( Δ x ) 2 + Ω ( Δ x ) 3 + Ω ( Δ x ) 4 ⋯ + Ω ( Δ x ) N F(X)\approx \Omega(\Delta x)_1 + \Omega(\Delta x)_2+ \Omega(\Delta x)_3+ \Omega(\Delta x)_4 \dots + \Omega(\Delta x)_N F(X)≈Ω(Δx)1+Ω(Δx)2+Ω(Δx)3+Ω(Δx)4⋯+Ω(Δx)N
这里的
Δ
x
\Delta x
Δx 是我们在使用基于迭代下降的方法中所选中的步长和方向,如果
F
(
X
)
F(X)
F(X) 在
Δ
x
\Delta x
Δx 为某个值时取得极小值,则
Δ
x
\Delta x
Δx无论是在任何一个方向加或者减函数值都会上升,此时这个点则为极小值点,这里的叙述不太数学化,但是大家联想一下极小值的定义,应该是可以理解的,当达到该条件后,那么该点关于
Δ
x
\Delta x
Δx 的导数一定为
0
0
0 。所以对此时的
F
(
X
)
F(X)
F(X)求导并让其等于
0
0
0 得到:
H
1
Δ
x
+
η
1
+
H
2
Δ
x
+
η
2
+
H
3
Δ
x
+
η
3
⋯
+
H
N
Δ
x
+
η
N
=
0
\mathbf{H_1\Delta x } + \mathbf{\eta_1} + \mathbf{H_2\Delta x } + \mathbf{\eta_2} + \mathbf{H_3\Delta x } + \mathbf{\eta_3} \dots + \mathbf{H_N\Delta x } + \mathbf{\eta_N} = \mathbf{0}
H1Δx+η1+H2Δx+η2+H3Δx+η3⋯+HNΔx+ηN=0
再将该式子变形,将关于
Δ
x
\Delta x
Δx 的项都移动到左边,没有关于
Δ
x
\Delta x
Δx 的移动到右边:
H
1
Δ
x
+
H
2
Δ
x
+
H
3
Δ
x
+
⋯
+
H
N
Δ
x
=
−
η
1
−
η
2
−
η
3
⋯
−
η
N
\mathbf{H_1\Delta x } + \mathbf{H_2\Delta x } + \mathbf{H_3\Delta x } + \dots + \mathbf{H_N\Delta x }= - \mathbf{\eta_1} - \mathbf{\eta_2} - \mathbf{\eta_3} \dots - \mathbf{\eta_N}
H1Δx+H2Δx+H3Δx+⋯+HNΔx=−η1−η2−η3⋯−ηN
其实也就是:
H
1
Δ
x
+
H
2
Δ
x
+
H
3
Δ
x
+
⋯
+
H
N
Δ
x
=
b
1
+
b
2
+
b
3
⋯
+
b
N
\mathbf{H_1\Delta x } + \mathbf{H_2\Delta x } + \mathbf{H_3\Delta x } + \dots + \mathbf{H_N\Delta x }= \mathbf{b_1} + \mathbf{b_2} + \mathbf{b_3} \dots + \mathbf{b_N}
H1Δx+H2Δx+H3Δx+⋯+HNΔx=b1+b2+b3⋯+bN
写成连加的形式:
Δ
x
∑
i
=
1
N
H
=
∑
i
=
1
N
b
\Delta x\sum_{i=1}^{N}H = \sum_{i=1}^{N}b
Δxi=1∑NH=i=1∑Nb
这里我们就通过每一项的一个具体形式来推倒出最后的 H 和 b 是怎么来的了。也就是我们经常在程序中见到的 +=
操作的原理:
H += J * J.transpose();
b += -J * error;
我们再次回到曲线拟合的题目中去,待优化的变量就三个
a
,
b
,
c
a,b,c
a,b,c 则每一个残差项都含有这三个参数,我们称其雅可比为稠密的(虽然只有三个参数,视觉BA问题中由于相机观测的特殊性,其雅可比矩阵是稀疏的),对每一个残差向分别求雅可比,然后求和得到最终的
H
H
H 和
b
b
b ,然后求解一次
Δ
x
\Delta x
Δx ,Step 一次,根据判断条件选择是否继续进行迭代。每一个残差项对于
Δ
x
\Delta x
Δx 的雅可比为
J
[
0
]
a
=
−
x
i
2
exp
(
a
e
x
i
2
−
b
e
x
i
−
c
)
J
[
1
]
b
=
−
x
i
exp
(
a
e
x
i
2
−
b
e
x
i
−
c
)
J
[
2
]
c
=
−
exp
(
a
e
x
i
2
−
b
e
x
i
−
c
)
J[0]_a = -x_i^2 \exp(a_ex_i^2-b_ex_i-c) \\ J[1]_b = -x_i \exp(a_ex_i^2-b_ex_i-c) \\ J[2]_c = -\exp(a_ex_i^2-b_ex_i-c) \\
J[0]a=−xi2exp(aexi2−bexi−c)J[1]b=−xiexp(aexi2−bexi−c)J[2]c=−exp(aexi2−bexi−c)
得到了雅可比,那么剩下的就是迭代求解即可,完整代码如下,来自14讲配套代码:
#include <iostream>
#include <chrono>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main(int argc, char **argv) {
double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0; // 真实参数值
double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0; // 估计参数值
int N = 100; // 数据点
double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值
double inv_sigma = 1.0 / w_sigma;
cv::RNG rng; // OpenCV随机数产生器
vector<double> x_data, y_data; // 数据
for (int i = 0; i < N; i++) {
double x = i / 100.0;
x_data.push_back(x);
y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));
}
// 开始Gauss-Newton迭代
int iterations = 100; // 迭代次数
double cost = 0, lastCost = 0; // 本次迭代的cost和上一次迭代的cost
chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();
for (int iter = 0; iter < iterations; iter++) {
Matrix3d H = Matrix3d::Zero(); // Hessian = J^T W^{-1} J in Gauss-Newton
Vector3d b = Vector3d::Zero(); // bias
cost = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
double xi = x_data[i], yi = y_data[i]; // 第i个数据点
double error = yi - exp(ae * xi * xi + be * xi + ce);
Vector3d J; // 雅可比矩阵
J[0] = -xi * xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/da
J[1] = -xi * exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/db
J[2] = -exp(ae * xi * xi + be * xi + ce); // de/dc
H += J * J.transpose();
b += -J * error;
cost += error * error;
}
// 求解线性方程 Hx=b
Vector3d dx = H.ldlt().solve(b);
if (isnan(dx[0])) {
cout << "result is nan!" << endl;
break;
}
if (iter > 0 && cost >= lastCost) {
cout << "cost: " << cost << ">= last cost: " << lastCost << ", break." << endl;
break;
}
ae += dx[0];
be += dx[1];
ce += dx[2];
lastCost = cost;
cout << "total cost: " << cost << ", \t\tupdate: " << dx.transpose() <<
"\t\testimated params: " << ae << "," << be << "," << ce << endl;
}
chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();
chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);
cout << "solve time cost = " << time_used.count() << " seconds. " << endl;
cout << "estimated abc = " << ae << ", " << be << ", " << ce << endl;
return 0;
}
- 运行结果如下:
total cost: 3.19575e+06, update: 0.0455771 0.078164 -0.985329 estimated params: 2.04558,-0.921836,4.01467
total cost: 376785, update: 0.065762 0.224972 -0.962521 estimated params: 2.11134,-0.696864,3.05215
total cost: 35673.6, update: -0.0670241 0.617616 -0.907497 estimated params: 2.04432,-0.0792484,2.14465
total cost: 2195.01, update: -0.522767 1.19192 -0.756452 estimated params: 1.52155,1.11267,1.3882
total cost: 174.853, update: -0.537502 0.909933 -0.386395 estimated params: 0.984045,2.0226,1.00181
total cost: 102.78, update: -0.0919666 0.147331 -0.0573675 estimated params: 0.892079,2.16994,0.944438
total cost: 101.937, update: -0.00117081 0.00196749 -0.00081055 estimated params: 0.890908,2.1719,0.943628
total cost: 101.937, update: 3.4312e-06 -4.28555e-06 1.08348e-06 estimated params: 0.890912,2.1719,0.943629
total cost: 101.937, update: -2.01204e-08 2.68928e-08 -7.86602e-09 estimated params: 0.890912,2.1719,0.943629
cost: 101.937>= last cost: 101.937, break.
solve time cost = 0.00440302 seconds.
estimated abc = 0.890912, 2.1719, 0.943629
- 和真实结果对比,这里的准确度取决于我们噪声方差的大小
a a a | b b b | c c c | |
---|---|---|---|
Estimate | 0.890912 0.890912 0.890912 | 2.1719 2.1719 2.1719 | 0.943629 0.943629 0.943629 |
Real | 1 1 1 | 2 2 2 | 1 1 1 |
下一节我们来讨论一下视觉SLAM中的非线性优化问题的具体形式,以及其 H H H 和 b b b 的由来和构建方法。