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线性代数1(2021.10.27)

1.置换矩阵[一个m*n(m<=n)的(0,1)矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个1,每一列恰有一个1,其余系数均为0]

[注意区别置换矩阵和转置矩阵,两者关系:置换矩阵的逆等于其转置,即P^{-1}=P^{T}]

{置换矩阵是单位矩阵的延伸版,是单位矩阵进行初等变换(行交换和列交换)后得到的矩阵,其必然为正交矩阵[若AA^{T}=E或A^{T}A=E,则称n阶实矩阵为正交矩阵(其中A^{T}表示A的转置矩阵,E为单位矩阵)]}

[通过单位矩阵(使用行变换或列变换)找置换矩阵更容易]      

    “左行右列”

  (1)交换r_1{},r_2{}(行交换~左乘)

         \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c & d\\ a& b \end{bmatrix}

             P(置换矩阵)P中[0 1]表示0个r_1{},1个r_2{},即得到[c d]

   (2)交换c_1{},c_2{}(列交换~右乘)

        \begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} b&a \\ d &c \end{bmatrix}

                          P(置换矩阵)P中[0 1]表示0个c_1{},1个c_2{},即得到[b d]

2.关于运算

   (1)消元(每个台阶的第一个元素称为主元) 

        [0不能做主元,若0占据主元位置,0下面有非0元素,则可进行行交换(暂时性失效)]

 (2)a.结合律成立(即括号可以移动),交换律不成立(即乘法顺序不能改变),因而除非两者可以交换,否则不满足完全平方公式和平方差公式

           b.减多少就加多少回来

  (3)矩阵内部元素表示含义

\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\3 &1 & 0\\0 &0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -3 & 1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}=  =\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

A^{-1}              A                         I(单位阵,也可用E表示,并无差别)

A^{-1}r_1{},r_3{}表示A的r_1{},r_3{}各乘以1分别得到I中的r_1{},r_3{}A^{-1}r_2{}表示A的3r_1{}+r_2{}得到I中的r_2{}

3.矩阵乘法(矩阵相乘不一定要是方阵,若是方阵,则大小必须相同;若不是方阵,则大小不同,但须满足特定格式:A_{m*n}*B_{n*p}=C_{m*p} )

      AB=C

   (1)常规方法(求和公式)             c_{34}=row3ofA*colum4of B=a_{31}b_{14}+a_{32}b_{24}+...=\sum_{k=1}^{n}a_{3k}b_{k4}

     (2)列方法(将B看作p个单独的列向量,C中各列是A中各列的线性组合~A*向量,B中的元素相当于表明这是怎样的线性组合)

AB_{c_1{}}=C_{c_1{}}

      (3)行方法(与列方法相似,注意左行右列即可)

A_{r_1{}}B=C_{r_1{}}

       (4)列*行

A_{c_1{}}B_{r_1{}}+A_{c_2{}}B_{c_2{}}

              (行空间即行所有可能的线性组合)

        (5)分块矩阵(分块乘法法则)

4.逆

A^{-1}A=I=AA^{-1}              (对于方阵而言,只要A有逆,左逆右逆都可以 ;

左逆     单位阵    右逆             而非方阵因为形状不同无法相乘,左逆并不等于右逆)

          (1)奇异矩阵(没有逆)

                判定方法:a.行列式\left | A \right |=0(常用)                                                                                  \begin{bmatrix} 1 & 2\\3 &6 \end{bmatrix} A                    b.假设AB=C,C中各列为A中相应列的倍数,

                                     \becauseA中两列共线(向量角度),所有的线性组合均在此条直线(1,3)上

                                     而(1,0)不在其上,则I\begin{bmatrix} 1 &0 \\ & \end{bmatrix} 不可能是A这些列的线性组合

                                      \thereforeC不是单位阵,A是奇异矩阵

                 \exists非零向量X,使得AX=0,这样的矩阵A没有逆

                 \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 &6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} 1\\3 \end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix} 2\\6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}      (如果其中一列对线性组合毫无贡献,矩阵                                            3个c_{1}加上-1个c_{2}                     不可能有逆)

                 假设A^{-1}(AX)=X,又A^{-1}(AX)=OA^{-1}=0X=\begin{bmatrix} 3\\-1 \end{bmatrix}\neq 0   \therefore假设不成立

                 结论:不可逆(奇异)矩阵其列能通过线性组合(非零向量X)得到0

                          (若左乘其逆,则X=0,所以不成立)

           (2)非奇异矩阵(可逆)

                判定方法:a.行列式\left | A \right |\neq 0

\begin{bmatrix} 1 &3 \\2 &7 \end{bmatrix} A                    b.各列的方向不同,组合能得到任何向量

                 \begin{bmatrix} 1 &3 \\2 &7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a &c \\b &d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 &1 \end{bmatrix}            AA^{-1}_{c_{1}}=I_{c_{1}}       AA^{-1}_{c_{2}}=I_{c_{2}}      

                     A            A^{-1}           I                   (求逆~解2个方程组)

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