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UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 1 Drude-Lorenz模型

UA OPTI501 电磁波 Lorentz Oscillator Model 1 Drude-Lorentz模型

    • 分析偶极子的简单弹簧模型
    • 自由电子的Drude模型

Lorentz Oscillator Model是最早由荷兰物理学家Lorentz提出的用于分析介质的电极化现象与外加电磁场之间关系的模型,这个模型的优点是简单好懂而且使用于多种材料。这一章介绍这个模型的基本内容以及一些应用。


分析偶极子的简单弹簧模型

在这里插入图片描述

简单Mass-and-spring模型的思想是假设一个原子核(质量为 M M M,带电量为 + q +q +q)与一个电子(质量为 m m m,带电量为 − q -q q)之间通过弹簧相连,弹簧的劲度系数为 α \alpha α,这个物理系统的动摩擦系数为 β \beta β,存在振荡变化的电场 E ( t ) = E x 0 cos ⁡ ( w t ) x ^ \textbf E(t)=E_{x0}\cos(wt)\hat x E(t)=Ex0cos(wt)x^

用牛顿第二定律可以列出系统中电子的振动方程,
m x ¨ = − q E − α x − β x ˙ m\ddot{x}=-qE-\alpha x-\beta \dot{x} mx¨=qEαxβx˙

引入两个常数,
w 0 = α m , γ = β m w_0=\sqrt{\frac{\alpha}{m}},\gamma = \frac{\beta}{m} w0=mα ,γ=mβ

劲度系数的单位是 n e w t o n / m e t e r newton/meter newton/meter,质量 m m m的单位是 k g kg kg,所以 w 0 w_0 w0的单位为 n e w t o n k g ∗ m e t e r = k g ∗ m e t e r ∗ s − 2 k g ∗ m e t e r = s − 1 \sqrt{\frac{newton}{kg*meter}}=\sqrt{\frac{kg*meter*s^{-2}}{kg*meter}}=s^{-1} kgmeternewton =kgmeterkgmeters2 =s1

这是角频率的单位,因此通常称 w 0 w_0 w0为resonant frequency,即这个系统的共振频率; β \beta β的单位满足
[ β ] ∗ ( m e t e r / s ) = n e w t o n = k g ∗ m e t e r / s 2 [ β ] = k g / s [\beta]*(meter/s)=newton=kg*meter/s^2 \\ [\beta]=kg/s [β](meter/s)=newton=kgmeter/s2[β]=kg/s

于是 γ \gamma γ的单位为 k g ∗ s − 1 / k g = s − 1 kg*s^{-1}/kg=s^{-1} kgs1/kg=s1,也与角频率相同,称 γ \gamma γ为系统的damping coefficient,阻尼系数。用这两个常数简化振动方程:
x ¨ + γ x ˙ + w 0 2 x = − q m E ( t ) \ddot{x}+\gamma \dot{x}+w_0^2 x=-\frac{q}{m}E(t) x¨+γx˙+w02x=mqE(t)

假这是一个非齐次常系数2阶ODE,假设它的解为
x ( t ) = R e [ x 0 e − i w t ] , x 0 = ∣ x 0 ∣ e i ϕ 0 x(t)=Re[x_0 e^{-iwt}],x_0=|x_0|e^{i\phi_0} x(t)=Re[x0eiwt],x0=x0eiϕ0

代入振动方程,
− w 2 x 0 − i w γ x 0 + w 0 2 x 0 = − q m E x 0 x 0 = − q m E x 0 w 0 2 − w 2 − i γ w -w^2 x_0-iw\gamma x_0+w_0^2x_0=-\frac{q}{m}E_{x0} \\ x_0 = \frac{-\frac{q}{m}E_{x0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w} w2x0iwγx0+w02x0=mqEx0x0=w02w2iγwmqEx0

由此可以得到系统的电偶极矩为
p = − q x ( t ) x ^ = R e [ − q x 0 e − i w t x ^ ] = R e [ p 0 e − i w t x ^ ] p 0 = q 2 m E x 0 w 0 2 − w 2 − i γ w \textbf p=-qx(t) \hat x=Re[-qx_0e^{-iwt}\hat x]=Re[p_0e^{-iwt}\hat x] \\ p_0 = \frac{\frac{q^2}{m}E_{x0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w} p=qx(t)x^=Re[qx0eiwtx^]=Re[p0eiwtx^]p0=w02w2iγwmq2Ex0

假设在一个小区域内有 N N N个这样的电偶极矩,则这个小区域内的电极化矢量为
P = N p = R e [ N p 0 e − i w t x ^ ] = R e [ ϵ 0 E x 0 C ( w ) e − i w t x ^ ] \textbf P = N\textbf p = Re[Np_0e^{-iwt}\hat x]=Re[\epsilon_0 E_{x0}C(w)e^{-iwt}\hat x] P=Np=Re[Np0eiwtx^]=Re[ϵ0Ex0C(w)eiwtx^]

其中 ϵ 0 E x 0 \epsilon_0E_{x0} ϵ0Ex0的量纲与电位移相同,所以 C ( w ) C(w) C(w)是一个无量纲的量,
C ( w ) = N q 2 m ϵ 0 w 0 2 − w 2 − i γ w C(w)=\frac{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}{w_0^2-w^2-i\gamma w} C(w)=w02w2iγwmϵ0Nq2

它被称为polarizability coefficient,引入 w q = N q 2 m ϵ 0 w_q=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}} wq=mϵ0Nq2 ,可以根据SI单位制与电磁学常用单位自行验证它的单位也是 s − 1 s^{-1} s1,与角频率相同,称 w p w_p wp为plasma frequency,电浆频率,
C ( w ) = w p 2 w 0 2 − w 2 − i γ w C(w)=\frac{w_p^2}{w_0^2-w^2-i\gamma w} C(w)=w02w2iγwwp2

考虑更一般的monochromatic solution,
E = R e [ E ( r ) e − i w t ] \textbf E=Re[\textbf E(\textbf r )e^{-iwt}] E=Re[E(r)eiwt]

由此导出的介质的电极化矢量为
P ( r , t ) = R e [ ϵ 0 E ( r ) C ( w ) e − i w t ] \textbf P(\textbf r,t)=Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)C(w)e^{-iwt}] P(r,t)=Re[ϵ0E(r)C(w)eiwt]

评注 上述推导讨论的是一个原子核配一个电子的情况,将其简单推广就可以得到一个原子核配 K K K的电子的结果,
C K ( w ) = ∑ k = 1 K f k w p 2 w 0 k 2 − w 2 − i γ k w C_K(w) = \sum_{k=1}^K \frac{f_k w_p^2}{w_{0k}^2-w^2-i\gamma_k w} CK(w)=k=1Kw0k2w2iγkwfkwp2

其中 f k f_k fk是第 k k k个电子的oscillator strength,用 C K ( w ) C_K(w) CK(w)替换上述模型中的 C ( w ) C(w) C(w)即可,即
P = R e [ ϵ 0 E ( r ) C K ( w ) e − i w t x ^ ] \textbf P =Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)C_K(w)e^{-iwt}\hat x] P=Re[ϵ0E(r)CK(w)eiwtx^]

自由电子的Drude模型

金属与半导体中的电子并不是被固定的,在一定条件下可以自由移动,要让Lorentz模型适用于这些电子,需要令 α = 0 \alpha=0 α=0 w 0 k = 0 w_{0k}=0 w0k=0,即不存在使电子回到原位的弹性力,在这种情况下, C K ( w ) C_K(w) CK(w)的表达式所决定的系数不再被称为polarizability coefficient,我们给它换个名字,称为electric susceptibility,记为 χ e ( w ) \chi_e(w) χe(w)
χ e ( w ) = − w p 2 w 2 + i γ w \chi_e(w)=\frac{-w_p^2}{w^2+i\gamma w} χe(w)=w2+iγwwp2

虽然这只是Lorentz模型的特例,但因为这是Drude提出的关于conduction electron的模型,所以称之为Drude模型,此时的电极化矢量为
P = R e [ ϵ 0 E ( r ) χ e ( w ) e − i w t x ^ ] \textbf P =Re[\epsilon_0 \textbf E(\textbf r)\chi_e(w)e^{-iwt}\hat x] P=Re[ϵ0E(r)χe(w)eiwtx^]

当外加电场高频振荡时,即 w > > γ w>>\gamma w>>γ时, χ e ( w ) ≈ − w p 2 w 2 \chi_e(w) \approx -\frac{w_p^2}{w^2} χe(w)w2wp2,这个系数被称为plasma susceptibility,由此可以导出plasma relative electric permittivity为
ϵ r ( w ) = 1 + χ e ( w ) = 1 − w p 2 w 2 \epsilon_r(w)=1+\chi_e(w)=1-\frac{w_p^2}{w^2} ϵr(w)=1+χe(w)=1w2wp2

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