智能优化算法：白鲸优化算法

摘要：白鲸优化算法([Beluga whale optimization，BWO)是由是由 Changting Zhong 等于2022 年提出的一种群体智能优化算法。其灵感来源于白鲸的群体觅食行为。

1.白鲸优化算法

BWO建立了探索、开发和鲸鱼坠落的三个阶段，分别对应于成对游泳、捕食和鲸落的行为。BWO中的平衡因子和鲸落概率是自适应的，对控制探索和开发能力起着重要作用。此外，还引入了莱维飞行来增强开发阶段的全局收敛性。

BWO算法可以从探索逐渐转换到开发，这取决于平衡因子 ${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}$ ，其定义为:
$${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}={\mathrm{B}}_0\left(1-\mathrm{T}/\left(2{\mathrm{T}}_{\max }\right)\right)$$
其中， $\mathrm{T}$ 是当前迭代次， ${\mathrm{T}}_{\max }$ 是最大迭代次数， ${\mathrm{B}}_0$ 在每次迭代中在 $(0,1)$ 之间随机变化。探索阶段发生在平衡因子 ${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}>0.5$ 时，而开发 阶段发生在 ${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}\le 0.5$ 。随着迭代次数 $\mathrm{T}$ 的增加， ${\mathrm{B}}_{\mathrm{f}}$ 的波动范围从 $(0,1)$ 减小到 $(0,0.5)$ ，说明开发和探索阶段的概率发生了显著变化，而 开发阶段的概率随着迭代次数 $\mathrm{T}$ 的不断增加而增加。

1.1 探索阶段

BWO的探索阶段是白鲸的游泳行为建立的。搜索代理的位置由白鲸的配对游泳决定，白鲸的位置更新如下:
$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{X}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}={\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left({\mathrm{X}}_{\mathrm{r},{\mathrm{p}}_1}^{\mathrm{T}}-{\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+{\mathrm{r}}_1\right)\sin \left(2\pi {\mathrm{r}}_2\right),\mathrm{j}=\text{ even }\\ {\mathrm{X}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}={\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left({\mathrm{X}}_{\mathrm{r},{\mathrm{p}}_1}^{\mathrm{T}}-{\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+{\mathrm{r}}_1\right)\cos \left(2\pi {\mathrm{r}}_2\right),\mathrm{j}=\mathrm{odd}\end{array}$$
其中， $\mathrm{T}$ 是当前迭代次数， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}$ 是第i只白鲸在第$j$维上的新位置， ${\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}(\mathrm{j}=1,2,\cdots ,\mathrm{d})$ 是从 $\mathrm{d}$ 维中选择的随机整数， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i},\mathrm{pj}}^{\mathrm{T}}$ 是第i条白鲸 在 ${\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}$ 维度上的位置， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i},{\mathrm{p}}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}$ 和 ${\mathrm{X}}_{\mathrm{r},\mathrm{p}1}^{\mathrm{T}}$ 分别是第1条和第 $\mathrm{r}$ 条白鲸的当前位置 $(\mathrm{r}$ 是随机选择的白鲸)，随机数 $r_1$ 和 $r_2$ 用于增强探索阶段的随机算子 ，${\mathrm{r}}_1$ 和 ${\mathrm{r}}_2$ 是 $(0,1)$ 的随机数， $\sin \left(2\pi {\mathrm{r}}_2\right)$ 和 $\sin \left(2\pi {\mathrm{r}}_2\right)$ 表示镜像白鲸的鲌朝向水面。根据奇偶数选择的维数，更新后的位置反映了白鲸在游泳或跳水时的同步或镜像行为。

1.2 开发阶段

BWO的开发阶段受到白鲸捕食行为的启发。白鲸可以根据附近白鲸的位置合作觅食和移动。因此，白鲸通过共享彼此的位置信息来捕 食，同时考虑最佳候选者和其他候选者。在BWO的开发阶段引入了莱维飞行策略，以增强收敛性。假设它们可以使用莱维飞行策略捕捉 猎物，数学模型表示为：
$${\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}={\mathrm{r}}_3{\mathrm{X}}_{\text{best }}^{\mathrm{T}}-{\mathrm{r}}_4{\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}+{\mathrm{C}}_1\cdot {\mathrm{L}}_{\mathrm{F}}\cdot \left({\mathrm{X}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}-{\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}\right)$$
其中， $\mathrm{T}$ 是当前迭代次数， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}$ 和 ${\mathrm{X}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}$ 分别是第 $\mathrm{i}$ 条白鲸和随机白鲸的当前位置， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}$ 是第 $\mathrm{i}$ 条白鲸的新位置， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{best}}^{\mathrm{T}}$ 是白鲸种群中的最佳位置， ${\mathrm{r}}_3$ 和 ${\mathrm{r}}_4$ 是 $(0,1)$ 之间的随机数， ${\mathrm{C}}_1=2{\mathrm{r}}_4\left(1-\mathrm{T}/{\mathrm{T}}_{\max }\right)$ 是衡量莱维飞行强度的随机跳跃强度。 ${\mathrm{L}}_{\mathrm{F}}$ 是莱维飞行函数，计算如下:
$$\begin{array}{c}{\mathrm{L}}_{\mathrm{F}}=0.05\times \frac{\mathrm{u}\times \sigma }{|\mathrm{v}{|}^{1/\beta }}\\ \sigma ={\left(\frac{\Gamma (1+\beta )\times \sin (\pi \beta /2)}{\Gamma ((1+\beta )/2)\times \beta \times 2^{(\beta -1)/2}}\right)}^{1/\beta }\end{array}$$
其中， $u$ 和 $v$ 为正态分布随机数， $\beta$ 为默认常数，等于1.5。

1.3 鲸鱼坠落

为了在每次迭代中模拟鲸鱼坠落的行为，从种群中的个体中选择鲸鱼坠落概率作为主观假设，以模拟群体中的小变化。假设这些白鲸要 么移到别处，要么被击落并坠入深海。为了确保种群大小的数量恒定，使用白鲸的位置和鲸鱼落体的步长来建立更新的位置。数学模型表 示为：
$${\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}={\mathrm{r}}_5{\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}-{\mathrm{r}}_6{\mathrm{X}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}+{\mathrm{r}}_7{\mathrm{X}}_{\text{step }}$$
其中， ${\mathrm{r}}_5、{\mathrm{r}}_6$ 和 ${\mathrm{r}}_7$ 是 $(0,1)$ 之间的随机数， ${\mathrm{X}}_{\mathrm{step}}$ 是鲸鱼坠落的步长，定义为:
$${\mathrm{X}}_{\text{step }}=\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{b}}-{\mathrm{l}}_{\mathrm{b}}\right)\exp \left(-{\mathrm{C}}_2\mathrm{T}/{\mathrm{T}}_{\max }\right)$$
其中， ${\mathrm{C}}_2$ 是与鲸鱼下降概率和种群规模相关的阶跃因子 $\left({\mathrm{C}}_2=2{\mathrm{W}}_{\mathrm{f}}\times \mathrm{n}\right)$ ， ${\mathrm{u}}_{\mathrm{b}}$ 和 ${\mathrm{l}}_{\mathrm{b}}$ 分别是变量的上下限。可以看出，步长受问题变量边 界、当前迭代次数和最大迭代次数的影响。
在该模型中，鲸鱼坠落概率 $\left({\mathrm{W}}_{\mathrm{f}}\right)$ 作为线性函数计算:
$${\mathrm{W}}_{\mathrm{f}}=0.1-0.05\mathrm{T}/{\mathrm{T}}_{\max }$$
鲸鱼队落的概率从初始迭代的0.1降低到最后一次迭代的 $0.05$ ，表明在优化过程中，当白鲸更接近食物源时，白鲸的危险性降低。

3.实验结果

4.参考文献

[1] Changting Zhong, Gang Li, Zeng Meng. Beluga whale optimization: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 251: 109215.

5.Matlab代码

6.python代码