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第十期竞赛题目

一、熊孩子拜访

1、题目描述

  已知存在一个长度为 $n$ 的整数序列 $A$。$A$中所有元素按照从小到大的顺序进行排序。现在执行操作倒置一段序列。请找到 $A$ 序列里的倒置子序列。

• 输入描述： 第一行输入整数 $n(1\le n\le 1000)$，第二行输入 $n$ 个整数 $(1\le num\le 10000)$。
• 输出描述： 输出被倒置的数列的左值，右值。如果没有输出0 0。

示例：

输入：4
   1 3 2 4
输出：2 3

2、代码实现

解题步骤如下：

1. 从前往后进行查找，找到第一个比后面一个数大的位置，该位置的数就是被倒置的数列的左值，如果没有找到满足要求的位置，则输出0 0。
2. 继续向后进行查找，找到第一个比后面一个数小的位置，该位置的数就是被倒置的数列的右值。

代码如下：

//熊孩子拜访
#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() 
{
	int n;
	cin >> n;
	vector<int> v(n);
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> v[i];
	}
	//1、从前往后进行查找，找到第一个比后面一个数大的位置
	int index = 1;
	while (index < n&&v[index - 1] <= v[index])
	{
		index++;
	}
	if (index == n)
	{
		//如果没有则输出0 0
		cout << 0 << " " << 0 << endl;
		return 0;
	}
	//2、继续向后进行查找，找到第一个比后面一个数小的位置
	int start = index - 1;
	while (index < n&&v[index - 1] >= v[index])
	{
		index++;
	}
	int end = index - 1;
	cout << v[end] << " " << v[start] << endl;
	return 0;
}

二、走楼梯

1、题目描述

  现在有一截楼梯，根据你的腿长，你一次能走 1 级或 2 级楼梯，已知你要走 $n$ 级楼梯才能走到你的目的楼层，请实现一个方法，计算你走到目的楼层的方案数。

• 输入描述： 输入整数 $n(1\le n\le 50)$。
• 输出描述： 输出方案数。

示例：

输入：5
输出：8

2、代码实现

解题步骤如下：

1. 走 $n$ 级楼梯的方案数等于，走 $n-1$ 级楼梯的方案数和走 $n-2$ 级楼梯的方案数之和，即 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$，按照求第 $n$ 个斐波那契数的方法进行求解即可。

代码如下：

//走楼梯
#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <vector>
using namespace std;
long long Fibonacci(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2)
		return n;

	long long first = 1;
	long long second = 1;
	long long third = 2;
	while (n > 2)
	{
		first = second;
		second = third;
		third = first + second;
		n--;
	}
	return third;
}
int main() 
{
	int n;
	cin >> n;
	cout << Fibonacci(n) << endl;
	return 0;
}

三、括号上色

1、题目描述

  小艺酱又得到了一堆括号。括号是严格匹配的。现在给括号进行上色。上色有三个要求：1、只有三种上色方案，不上色，上红色，上蓝色。2、每对括号只有一个上色。3、相邻的两个括号不能上相同的颜色。但是可以都不上色。问括号上色有多少种方案？答案对1000000007取模。

• 输入描述： 输入括号序列 $s(2\le |s|\le 700)$。
• 输出描述： 输出方案数。

示例：

输入：(())
输出：12

2、代码实现

解题步骤如下：

1. 动态规划。

代码如下：

//括号上色
#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7, N = 705;
int f[N][N][3][3];
int m[N];
int solution(std::string s) {
	int n = s.size();
	vector<int> stk;
	for (int i = 0; i < n; i++) {//预处理一下括号匹配的位置
		if (s[i] == '(') stk.push_back(i);
		else {
			int u = stk.back();
			stk.pop_back();
			m[u] = i;
			m[i] = u;
		}
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {//状态边界
		if (m[i] == i + 1) f[i][i + 1][0][1] = f[i][i + 1][0][2] = f[i][i + 1][1][0] = f[i][i + 1][2][0] = 1;
	}
	for (int len = 4; len <= n; len += 2) {
		for (int i = 0, j = i + len - 1; j < n; i++, j++) {
			if (s[i] != '(' || s[j] != ')') continue;
			if (m[i] == j) {
				for (int a = 1; a < 3; a++) {//只枚举需要染色的一端
					for (int b = 0; b < 3; b++) {
						if (b == a) continue;//匹配的括号颜色不能相同
						for (int c = 0; c < 3; c++) {
							f[i][j][a][0] = (f[i][j][a][0] + f[i + 1][j - 1][b][c]) % MOD;
							f[i][j][0][a] = (f[i][j][0][a] + f[i + 1][j - 1][c][b]) % MOD;
						}
					}
				}
			}
			else {
				int i1 = m[i], j1 = m[i] + 1;
				for (int a = 0; a < 3; a++) {
					for (int b = 0; b < 3; b++) {
						for (int c = 0; c < 3; c++) {
							for (int d = 0; d < 3; d++) {
								if (b == c && b) continue;//相邻括号有颜色不能相同
								//乘法原理，不用考虑子序列匹配的括号颜色是否相同，相同的话值就是0
								//这里乘法要加上强转，不然会爆int
								f[i][j][a][d] = (f[i][j][a][d] + ((ll)f[i][i1][a][b] * f[j1][j][c][d]) % MOD) % MOD;
							}
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	int res = 0;
	for (int i = 0; i < 3; i++) {
		for (int j = 0; j < 3; j++) {
			res = (res + f[0][n - 1][i][j]) % MOD;
		}
	}
	return res;
}
int main() {
	std::string s;
	std::cin >> s;
	int result = solution(s);
	std::cout << result << std::endl;
	return 0;
}

四、喜水青蛙

1、题目描述

  总数喜欢在水里嬉戏的青蛙，某天要过河拜访一位朋友。
  已知河道中长满了带刺的不知名生物，能通过的路只有一条直线，长度为 $L$。
  直线上随机分布着 $m$ 块石头。青蛙的最小跳跃距离是 $s$，最大跳跃距离是 $t$。
  青蛙想要尽可能的少踩石头，那么它通过河道最少会踩到多少石头？

• 输入描述： 多组数据输入，其中每组数据：第一行输入1个整数 $L(1\le L\le 1e9)$。第二行输入3个整数：$s、t、m(1\le s\le t\le 10，1\le m\le 100)$。第三行输入 $m$ 个不同的整数，表示 $m$ 个石子在数轴上的分布位置。每行所有相邻整数用空格隔开。
• 输出描述： 输出青蛙过河最少会踩到的石子数量，每组输入数据对应的输出结果单独成行。

示例：

输入：10
   2 3 5
   2 3 5 6 7
输出：2

2、代码实现

解题步骤如下：

1. 动态规划。

代码如下：

//喜水青蛙
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 10100;
int f[N], w[N], stones[105];
int main(){
	int L, s, t, m;
	cin >> L >> s >> t >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)    cin >> stones[i];
	int res = 0;
	if (s == t) {
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			if (stones[i] % s == 0)  res++;
		}
		cout << res << endl;
	}
	else {
		int last = 0;
		sort(stones + 1, stones + m + 1);
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int diff = min(stones[i] - last, 100);
			last = stones[i];
			stones[i] = stones[i - 1] + diff;
		}
		for (int i = 1; i <= m; i++)   w[stones[i]] = 1;
		memset(f, 0x3f, sizeof f);
		f[0] = 0;
		for (int i = s; i <= stones[m] + 10; i++) {
			for (int j = i - t; j <= i - s; j++) {
				if (j < 0)   continue;
				f[i] = min(f[i], f[j] + w[i]);
			}
		}
		res = 100;
		for (int i = stones[m]; i <= stones[m] + 10; i++)  res = min(res, f[i]);
		cout << res << endl;
	}
	return 0;
}